こんにちは。
私は学部は数学科、そして現在情報系の大学院に在籍しています。
応用数学と一言にいっても様々な分野がありますし、大学によっても様々です。
応用数学科であってもカリキュラムが数学科とほぼ一緒だったりもしますｗ


応用数学の具体的な例といえば情報系だと数値解析ですね。
手でやるとすっごくめんどくさい積分なんかをコンピュータでぱぱっとやってしまうんです。でもコンピュータって小数や無理数が苦手なので、誤差が出てしまいます。
また、いくらコンピュータだからって無限に計算できるわけではありません。
だから、誤差を少なくするアルゴリズムや早く計算できるアルゴリズムなんかを数学的な理論を使って考えたりします。

ただ、それが純粋に職業に結びつくことは少ないかと思います。
純粋数学と応用数学で取れる資格や就職先が大きく変わることはないと思います。

数学系で資格といえばアクチュアリーですかね。
保険数理人というお仕事で、確率や統計を使い、適正な保険料やサービスを考える職業です。
お給料も良く非常に人気がありますが、かなり難関な資格です。。。

また、研究所なんかでも数学系はよくとってもらえます。
あとは、システムエンジニアやプログラマー、銀行系や保険系、
学校や塾の先生などなど。。。

実際就職活動してみて、数学系はすごく潰しが利く学科だと思います。
きちんと数学的思考や論理的思考を身につけておけば、
大抵の理系の職業にはつけます。
＃生物や化学系の研究開発なんかは難しいですが；

ただ、高校数学とのギャップでついていけなくなることが多いのも事実ですｗ
ですので、応用数学科でも数学科でも最初は大変ですが、根気よく頑張ればいろんな道がありますよ！！

頑張ってください！

ゆかひさんが紹介された数値解析は、製造業でも大いに役立っています。

私の仕事は数値計算によるものづくりで、CAE（Computer Aided Engineering）とも言い、シミュレーションのの一分野です。
ものをつくるための設計には、さまざまな計算が必要なのです。
ものが壊れないか、欲しい性能が得られるか、どのような動作や揺れ方をするか、などなど、実際に作ってみる（試作といいます）まえに計算で予測できるのです。
最近では、地震後の津波なども数値計算されて、海底の地形により何故・どのような波が生じるのかテレビで紹介されたりしていますね。
地震やビル火災などの災害時も、揺れ方や、火災の煙の広がり方などの解析結果がテレビで解説されることもあります。
これらも数値解析の適用例です。

私は機械系出身なので、ものづくりに近いところで計算しています。
CAEと言っても機械系はものづくりに近く、応用数学系や応用物理系はソフトウェア開発に近い傾向がありますが、メーカーのCAEエンジニアにも応用数学系出身者もいますよ。

応用数学というとさまざまな選択肢があると思いますが、その一つとしてこんな仕事もあるってことでご紹介しました。